分析基础中的无穷观问题

很久以来人们普遍认为，极限论的建立和发展已给出了贝克莱悖论的解释方法，然而当笔者在兼容两种无穷观的思维方式并重新分析问题的时候，发现贝克莱悖论的阴影没有在分析基础中真正消失。

微积分与极限论的简要历史回顾

   17世纪中叶到整个18世纪，是微积分从诞生到飞速发展及其在各个领域里得到广泛应用的时期。众所周知，尽管微积分取得了前所未有的成功，其理论基础却建立在含混不清的无穷小概念上，为此自然而然地遭到各方面的非难，其中最为核心的非难可归结为著名的贝克莱悖论。


   1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础――无穷小问题。他指出，牛顿在求导数时，先让无穷小不等于零，经过演算后又令其等于零，召之即来，挥之即去，显然是十分荒谬的。这就是所谓的贝克莱悖论。


   关于这个悖论，最典型的例子是求瞬时速度。大家知道，自由落体的位移是S=gt2/2，由此可知，从t0到t0＋h时间内，位移是g(2t0+h)h/2，平均速度是gt0+gh/2。为求t0时刻的瞬时速度，令h＝0，于是得瞬时速度为gt0，这就出现了矛盾，因为在求平均速度时h≠0，而后又让h＝0。


   上述过程其实就是求导数。所有可导函数的求导都会遇到这个问题。克莱因（M.Kline）在《古今数学思想》第一卷中指出：导数被当作y与x消失了的增量之比，即dy与dx之比，贝克莱说它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无，这些变化率只不过是消失了的量的鬼魂[1]。数学史上把17世纪微积分诞生以来在数学界出现的混乱局面称为数学的第二次危机。


   基于如上局面，迫使数学家认真对待这个贝克莱悖论，以解除数学的第二次危机，这就直接导致了微积分的柯西-魏尔斯特拉斯时代。柯西详细而系统地发展了极限论；戴德金在实数论的基础上证明了极限论的基本定理；康托尔与魏尔斯特拉斯都投入为微积分奠定理论基础的工作，发展了ε-N和ε-δ方法，避开了实体无限小和实体无限大概念的设想和使用，这就是今天每个学理科的大学生都熟悉的数学分析。


   两种无穷观不容混淆原则


   问题到此当然没有完结，数学家发现，数学最终其实是不能回避无穷的。自古至今2000余年来，坚持潜无穷观念的学者和坚持实无穷观念的学者一直在互相否定的模式中争论不休，并广泛涉及哲学、逻辑、计算机科学理论和数学等众多领域，但却未见潜无穷与实无穷在自身领域中的精确定义，留给我们的只是卷入这场争论的大学者们对两种无穷的素朴描述，不妨陈述一二如下。


   古希腊人关于物质始原问题。爱奥尼亚学派的阿那克萨哥拉认为物质是无限可分的，从而导致事物永远在分割的进程中(going)，这就是潜无限观的萌芽；而古代原子论者德谟克利特却认为存在着最小的不可分质点，事物为不可分的最小质点的无限堆积总体，这就是形成实无穷观念的起始。


   亚里士多德明确认为，无限只能是一种潜在的存在，而不能是一种实在的存在。并且所谓“无限是一种潜在的存在，意思不是说，它会在什么时候现实地具有独立的存在，它潜在的存在只是对知识而言，因为分割过程永远不会告终(going)；这个事实保证了这种活动存在的潜在性，但并不能保证无限独立地存在。”［2］亚里士多德说：“空间和时间是可以无限地划分的(going)，但并没有被无限地划分开来(gone)”。［3］


   贝利（Bailey）说：“如果我们在一英寸大小的材料上划下了无穷多条线条(gone)，我们不会作出这样一种划分，这种划分会把亚里士多德以为仅是可能的无限性(going)变成现实的无限性(gone)。”［3］


   列宁则说：“就是说，如果我们把无限的划分进行到底(gone)!”［3］


   开普勒在他的《酒桶的立体几何》一书中成功地使用了无穷小量分析法，求得了一些曲面体的体积。由于开普勒的工作影响甚大，以至造成这一时期的一个显著特点，就是无穷小量在数学中的广泛应用，从而就无穷观而言，这一时期的数学家基本上都是实无限论者，亦就是把无穷小看成是一种固定而独立的研究对象。


   外尔指出：“布劳威尔使这一点明确了，就是没有任何证据能够证明所有自然数的整体的存在性……自然数列，它能够通过不断地达到下一个数而超越任何一个已经达到的界线。从而也就开辟了通向无限的可能性(going)，但它永远停留于创造(生成)的状态之中(going)，而决不是一个存在于自身之中的事物的封闭领域(gone)。”


   当然，类同的描述非常之多，无需在此一一列举。通过这类素朴的描述，一般说来，亦可谓已使我们对潜无穷和实无穷概念的真实面貌有了一个较为清晰的影像。无论如何，两种无穷的差别可以规范为如下两点。


   其一，从生成的角度看，潜无穷永远是现在进行式(going)，而实无穷却是完成式(gone)。其二，从存在的角度看，潜无穷是动态的、不确定的、能行的、构造性的和潜在的，而实无穷则是静态的、固定的、非能行的、不可构造的和独立存在的。


   由此得到的潜无穷的两条基本性质是：非有限，从而给出了通向无限的可能性(going)；必须永远是现在进行式，从而否定了达到无限的可能性(非gone，即going)。实无限的两条基本性质是：非有限，从而给出了通向无限的可能性(going)；必定是完成式，从而肯定了达到无限的可能性(gone)。


   由此必须认识到两种无穷是断然相异而不可混淆的，否则可谓既不尊重历史也不尊重故人，特别是对卷入这场争论的大学者大不敬。为之，必须无条件确认下述一个基本原则。


   两种无穷观不容混淆原则是指，无条件承认，潜无穷与实无穷无论从生成角度还是从存在角度看，都不存在任何意义上的等同；而且同一个层次的两种无穷相比较时，必须无条件承认潜无穷的等级低于实无穷的等级。


   如所知，极限表达式通常是指带有极限符号lim的等式，如lim f(x)=A(0，?棕)，lim f(x)=A(0，?棕)，lim f(x)=A(0，?棕)等等，极限表达式中的两组变量是：x→x0和f(x)→A。特称位于极限符号下方的那组自变量x→x0为第一变量，而称另一组应变量f(x)→A为第二变量。


   下述一组符号的简记定义如下：a↑b，变量a无限趋近于极限b；aTb，变量a 达到极限b；aTb，变量a永远达不到极限b；a↑b And aTb，变量a无限趋近于极限b并且达到极限b；a↑b But aTb，变量a无限趋近于极限b但永远达不到极限b。


   下面给出两个定义。如果有a↑b And aTb，则称变量a以实无限方式趋向极限b（gone）；如果有a↑b But aTb，则称变量a以潜无限方式趋向极限b（going）。


   对任意的变量a，要么以实无限方式趋向它的极限b，要么以潜无限方式趋向它的极限b。但无论是a↑b And aTb还是a↑b But aTb，两者的共同之处在于都有a↑b；两者的不相容之处在于完成式aTb（gone）和进行式aTb（going）。但在极限论中基于ε-δ和ε-N方法的相关极限的定义并不涉及和区分aTb和aTb一类概念，或者说统一立足于a↑b，亦即只考虑变量无限趋近于它的极限就可以了，至于aTb或aTb则不予过问，事实上，两种趋近于极限的方式都有一个共同点，即a↑b。这对ε-δ与ε-N方法下的极限定义已经够了，所以极限论中也无需去明文规定允许或不允许考虑涉及aTb和aTb一类观念。但我们现在就要在极限论中引入变量以实无限方式无限趋近于它的极限这一类观念，并明确区分变量趋向它的极限的实无限方式和潜无限方式。


   关于极限表达式的可定义与可实现概念


   通常对于极限表达式lim f(x)=A中的第一变量x→x0而言，如果变量x以实无限方式趋向它的极限x0将导致矛盾（亦即x↑x0 And xTx0 ）的话，则变量x就必须以潜无限方式趋向于它的极限x0（亦即必须是x↑x0 But xTx0）。


   例如，对于极限表达式lim1/x=ω而言，如果x↑0 And xT0，则必将导致矛盾，因为xT0表明将会出现x=0，但数学上规定0不能作为分母，所以xT0表明函数1/x将在最后走向无意义而不是ω，事实上函数1/x在x=0处无定义，总之极限表达式lim1/x=ω中的第一变量x→0，其中变量x只能以潜无限方式趋向它的极限0，亦即只有x↑0 But xT0，而不允许有x↑0 And xT0。


   又如，对于极限表达式lim1/n=0中的第一变量n→ω而言，如果出现n↑ωAnd n Tω，则表明将有n=ω的出现，但数学上规定所有的自然数都是有限序数，亦即?坌x(x∈N→x＜ω)，所以根本不允许有n=ω的出现，为之极限表达式lim1/n=0中的第一变量n→ω，其中变量n必须以潜无限方式趋向它的极限ω，亦即只有n↑ω But xTω，不允许出现n↑ω And nTω。


   设有极限表达式lim f(x)=A， f(x)在x0处有定义，且满足如下条件：x↑x0 And xTx0， f(x)↑A And f(x)TA，即x和f(x)均以实无限方式趋近于它的极限；f(x) = A iff x = x0 ，则称该极限表达式是“既可定义且可实现的”，简称为可实现的，否则（例如：x↑x0 And xTx0）就称该极限表达式是“只可定义但不可实现的”，简称为不可实现的。


   有重要结论：任何一个可定义的极限表达式要么是可实现的，要么是不可实现的。上述两个例子中的极限表达式lim1/x=ω和lim1/n=0都是不可实现的。


   分析基础中的新贝克莱悖论


   如果有人在既不改变思维方式，又无新的分析工具或观念，更不从新的角度去观察问题等情况下，突然声称在一个久经历史检验且被认为自圆其说的理论系统（如极限论或近代公理集合论等）中发现了矛盾，我们几乎可以断言这是不可能的。犹如面对一件几经检测而已被认定为合格的产品，在既无新的检测手段、又未提高产品规格要求的情况下，不可能会有人指出该产品尚有其不合格之处一样。


   然而，当对产品的规格要求提高了，或者又有了新的检测手段，那么发现上述已被认定为合格的产品尚有其不合格之处，这不仅完全可能，自然也是顺理成章之事。下文将要阐明，诸如近代公理集合论和极限论中尚有隐藏至深的矛盾有待排除和解决。所说的矛盾当然是在改变思维方式和采用新的分析工具的情况下被揭示的。


   例如，极限论是面对牛顿-莱布尼茨时代的贝克莱悖论而建立起来的。在ε-δ和ε-N方法下的极限论，是在潜无限思维方式下，特别是在不考虑一个变量趋向其极限的不同方式的规格要求下被认为是已经自圆其说的。而我们现在首先在兼容潜无限和实无限的思维方式下，同时又在考虑一个变量究竟是以实无限还是潜无限方式趋向其极限的规格要求下，阐明并指出当今极限论中尚有隐藏至深的矛盾（或危机）有待排除或解决。因此，大家首先要去掉不可能事件的思维模式，才能仔细审阅下文内容的真实性与可靠性。


   现在，重新审视一下当今极限论中如何求取自由落体在t=t0时的点速度的过程，如所知，这一过程最终由下述极限表达式解决：


   V｜ = lims/t = lim(gt0+gt/2)


   = gt0+glimt/2


   = gt0+g/2?0 = gt0+0 = gt0 （*）


   应该说，在现有极限论所固有的思维方式下，亦即对于变量a和它的极限b之间的关系，有且仅有a↑b这层关系，特别是拒绝涉及和考虑aTb还是aTb一类观念的情况下，上述求取t=t0时的点速度的极限表达式（*）无可厚非，极限论是可以自圆其说的。然而，当我们在现有极限论中引入变量趋向它的极限的实无限方式和潜无限方式（a↑b And aTb和a↑b But aTb）之后，将会出现新的异常情况，现讨论如下。


   上述极限表达式（*）是由下述两个核心的极限表达式合成的：


   （1） lims/t = gt0


   （2） limt = 0


   而且极限表达式（1）和（2）中的第一变量?驻t→0是完全相同的，但由前文可知极限表达式（1）是不可实现的，因此必有?驻t↑0 ButtT0，亦即变量?驻t必按潜无限方式趋向它的极限0；又由前文可知上述极限表达式（2）是可实现的，因此必有?驻t↑0AndtT0，亦即变量?驻t必按实无限方式趋向它的极限0。由此我们不禁要问：对于同一个问题的同一个求解过程中的同一个变量?驻t→0，为什么允许tT0和tT0并存？这岂不是为了使lims/t=gt0有意义，就说?驻t↑0 But tT0，即让△t按潜无限方式趋向它的极限0；反之，为了使得glimt/2=g?0/2，又说t↑0 And tT0，即让t按实无限方式趋向它的极限0，此等说理显然不能令人满意。


   那么试问，能否统一规定?驻t以实无限方式趋向它的极限0？这是不可能的，因为这样一来必有tT0，从而lims/t将导致无意义的0/0。那么能否统一规定?驻t以潜无限方式趋向它的极限0，在这里也是不可能的，因为在t↑0 But tT0的情况下，必然导致极限表达式limt=0是不可实现的。然而我们已知极限表达式glimt/2=0是可以实现的，又由前文重要结论所示，任何一个极限表达式要么是可实现的，要么是不可实现的，亦即没有这样的极限表达式，它既是可实现的又是不可实现的。极限表达式limt=0当然也不得例外。总之，在极限论中明确引入变量趋向其极限的实无限方式和潜无限方式后，在上述求取自由落体在t= t0时的点速度的过程中，对于变量?驻t趋向它的极限0的上述种种说法，都是说不通的。


   以上的讨论表明，只要在极限论中明确引入和区分变量趋向它的极限的实无限方式和潜无限方式，那么贝克莱悖论的阴影并没有在极限论中真正消失。


   事实上，对于一个变量a无限趋近它的极限b的过程，客观上存在着实无限（a↑b And aTb）和潜无限（a↑b But aTb）这样两种不同的方式，而现有的极限论所固有的思维方式恰恰是以回避或模糊两种无穷之间区别的办法去掩盖矛盾的，因为那个求取自由落体在t=t0时的点速度的最终极限表达式lims/t=gt0+glimt/2告诉我们，该表达式左右两边是用一个等号连接起来的，然而等号左边必须有t↑0 ButtT0（潜无限），而等号右边又必须是t↑0 And tT0（实无限），此外等号两边的变量?驻t又是同一个变量，从而该极限表达式实质上表明了下述事实：这就是同一个变量?驻t趋向它的极限0的潜无限方式和实无限方式被一个等号连接起来了。说得更明确一点，那就是该表达式从根本上体现并在无形中贯彻了“潜无限=实无限”的思维方式，也就是混淆和模糊了两种无穷的区别，但这种思维方式既是不可接受的，也直接违背了本文所确立的“两种无穷观不容混淆原则”。


   最后还要指出，在一个理论系统中兼容两种无穷的思维方式可谓早有先例在前。如所知，在微积分理论中，既要接受集合论意义下的各种各样的实无穷集合，并由此而贯彻实无穷观点，却又要以潜无穷的思维方式去讨论极限问题，即如数列x1，x2，x3，…，xn，…无限地增大，换句话说，任给一正数G，不论G有多大，总能找到正整数N，只要n>N，便有xn>G，这时也说该数列的极限是正无穷大，写成limxn=+∞。


   这是一种典型的不断地设定限度却又不断地超越这个限度的潜无穷思维方式，同时又包含着不论被设定的限度有多么大，我们总能超越它的思想规定。从而一方面任何一个被设定的限度都是有限的，另一方面被设的限度又是可以无限制地增大的，如此等等。从而在上文中，我们主张在极限论中采纳兼容潜无限和实无限的思维方式去分析问题，应该说都是顺理成章的。相反地，在某个理论系统中，为了掩盖矛盾而拒绝采纳兼容两种无穷的思维方式倒是没有道理的。
[1] 克莱因. 古今数学思想（第1册）.上海：上海科学技术出版社，2002
[2] 北京大学外国哲学史教研室编译.古希腊罗马哲学. 北京：商务印书馆，1962
[3] 列宁. 列宁全集. 北京：人民出版社，1959.282
[4] 朱梧?，肖奚安. 数学基础概论. 南京：南京大学出版社，1996
[5] 朱梧?. 几何基础与数学基础. 沈阳：辽宁教育出版社，1987
引自 http://www.kexuemag.com/artdetail.asp?name=821

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